Коллоквиум линал Совместная и несовместная система - Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если решений нет — система несовместна Определённая и неопределённая система - Система уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если имеет более одного решения. Однородная и неоднородная система - Если все свободные члены равны 0 (∀ bi = 0), такая система называется однородной. Если хотя бы один из них отличен от нуля (∃ bi ̸= 0), неоднородной Матрица - Матрицей A = (aij ) размера m × n (с m строками и n столбцами) будем называть таблицу коэффициентов Главная и побочная диагонали - Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, проведённая из верхнего левого угла матрицы в правый нижний угол матрицы. Более строго, это упорядоченная совокупность элементов матрицы a11, a22, . . . , ann, у которых номера строк и столбцов совпадают. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. Элементарные преобразования строк - матрицы называются преобразования следующих типов ∗ ∗ В разных источниках нумерация типов элементарных преобразований может отличаться : 1. перестановка двух строк матрицы (i) ↔ (j); 2. умножение строки матрицы на число, отличное от нуля (i) → const · (i); 3. прибавление к одной строке матрицы другой её строки, умноженной на любое число (i) → (i) + const · (j) Ступенчатый вид матрицы - форма, при которой все элементы ниже главной диагонали матрицы равны 0 Главные и свободные переменные - В этой системе переменная z принимает любое значение, x, y через z однозначно выражаются. Получается, что решений бесконечно много. Отметим, что x и y соответствуют главным элементам в 8 Системы линейных уравнений ступенчатом виде. Такие переменные называют главными. Остальные переменные называют свободными. Переменная z в этом примере — свободная. Обратный ход метода гаусса В примере выше после приведения матрицы к ступенчатому виду решение системы было получено не сразу. В таких случаях можно воспользоваться обратным ходом метода Гаусса. Ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы все ведущие элементы были равны единице, а все коэффициенты над ними — нулю Делители нуля В матрицах есть «делители нуля»: существуют две ненулевые матрицы A и B такие, что AB = 0 Матрица называется симметричной, если A = AТ(T как степень) След матрицы - Следом (tr обозначение) матрицы называется сумма элементов её главной диагонали Свойства следа 1. Пусть матрицы A, B ∈ Mn n(R). Тогда tr(A + B) = tr(A) + tr(B). 2. Пусть матрица A ∈ Mn n(R), λ ∈ R. Тогда tr(λA) = λ tr(A). 3. Пусть матрицы A ∈ Mn k(R), B ∈ Mk n(R). Тогда tr(AB) = tr(BA) Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны 1, а все остальные равны 0. Обратная матрица Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице A ∈ Mn n(R), если AA−1 = A−1A = I. Матрица A, для которой существует обратная матрица, называется обратимой. Преобразование строк 1-го типа — перестановка двух строк матрицы (i) ↔ (j) — эквивалентно умножению матрицы A слева на матрицу Pij вида 1 0 0 0 0 1 0 1 0 Преобразование строк 2-го типа — умножение строки матрицы на число, отличное от нуля 1 0 0 0 -3 0 0 0 1 Преобразование строк 3-го типа — прибавление к одной строке матрицы другой её строки, умноженной на любое число (i) ↔ (i) + const · (j) — эквивалентно умножению матрицы A слева на матрицу Tij (β) вида 1 0 2 0 1 0 0 0 1 ПОДСТАНОВКА МАТРИЦ В МНОГОЧЛЕН Пусть p(x) = a0 + a1x + . . . + anx n — многочлен с вещественными коэффициентами, а A ∈ Mn n(R). Тогда можно определить p(A) = a0I + a1A1 + . . . + anAn , где I — единичная матрица КЛАССИФИКАЦИОННЫЙ РЕЗУЛЬТАТ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Классификационная задача заключается в том, чтобы описать объекты по определённым критериям. В нашем случае мы хотим описать все линейные системы, которые имеют одинаковое множество решений. Это поможет быстро сравнивать системы и получать ответ, когда решения двух систем полностью совпадают. ∗ B имеют разное число строк, то утверждение всё равно остаётся верным, но с поправкой, что прежде, чем сравнивать матрицы, нужно выкинуть из них нулевые строки. 6. ПОДСТАНОВКА МАТРИЦ В МНОГОЧЛЕН Пусть p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn — многочлен с вещественными коэффициентами, а
A ∈ Mn n(R). Тогда можно определить p(A) = a0I + a1A1 + . . . + anAn, где I — единичная матрица. Классификация систем линейных уравнений ТЕОРЕМА 4 Если матрицы A и преобразований Pij, Di, TT справа эквивалентно элементарным преобразованиям ij соответствующих столбцов матрицы A.
Заметим, что для преобразования столбцов 3-го типа нужно использовать именно транспонированнуюматрицуTT =Tji. ij Пусть A,B ∈ Mm n(R)∗ и пусть SA, SB ⊆ Rn — множества решений систем Ax = 0 и Bx = 0 соответственно. Тогда следующее эквивалентно: 1. SA = SB, то есть системы имеют одно и то же множество решений. 2. A приводится к B элементарными преобразованиями. 3. Существует обратимая C ∈ Mm m(R) такая, что B = CA. 4. Матрица после действий прямого и обратного хода метода Гаусса для A 
совпадает с матрицей после действий прямого и обратного хода метода Гаусса для B. Связь обращения матриц с умножением и транспонированием Пусть A, B ∈ Mn n(R) — обратимые матрицы. Тогда 1. Матрица AB тоже обратима и (AB)−1 = B−1A−1. 2. (AT )−1 = (A−1)T Эквивалентные условия обратимости матрицы Пусть квадратная матрица A ∈ Mn n(R), тогда эквивалентны следующие утверждения: 1. Матрица A обратима. 2. Система уравнений Ax = 0 имеет только тривиальное (нулевое) решение. 3. Система уравнений Ax = b имеет единственное решение. 4. Элементарными преобразованиями можно свести матрицу A к единичной матрице In. 5. Матрица A представима в виде произведения матриц элементарных преобразований Подстановка в многочлен матрицы C−1AC Если A ∈ Mnn(R) и f ∈ R[x] — многочлен, то f(C−1AC) = C−1f(A)C для любой обратимой C ∈ Mn n(R) Алгоритм решения уравнений AX = B AX=B A(-1)*A*X = A(-1)*B Только квадратные матрицы обратимы Так, матрица A = 0 0 1 1 при умножении справа на любую матрицу даёт матрицу с нулевой первой строкой. Значит, ни для какой матрицы B произведение AB не может совпадать с единичной матрицей I. LU разложение LU-разложением квадратной матрицы A ∈ Mm m(R) называется представление матрицы в виде произведения A = LU , где L = (lij ) — нижнетреугольная матрица, а U = (uij ) — верхнетреугольная матрица с единицами на главной диагонали Векторным пространством называется непустое множество V , на котором введены операции сложения элементов (+) и умножения элемента на число (·). Иными слова- ми: * Каждым двум элементам x, y ∈ V поставлен в соответствие элемент x + y. При этом x + y ∈ V , то есть операция сложения, не выводит результат за пределы пространства. В этом случае говорят, что V замкнуто относительно сложения. * Каждому элементу x ∈ V и каждому числу λ ∈ R поставлен в соответствие эле- мент λ · x. При этом V замкнуто относительно операции умножения на число, то есть λ · x ∈ V. 
При этом для тройки (V, +, ·) должны выполнятся следующие аксиомы: 1. ∀x,y∈V:x+y=y+x(коммутативностьпосложению). 2. ∀x,y,z∈V:(x+y)+z=x+(y+z)(ассоциативностьпосложению). 3. ∃0∈V,∀x∈V:x+0=0+x=x(существованиенулевогоэлемента). 4. ∀x∈V ∃(−x)∈V:x+(−x)=(−x)+x=0(существованиепротивоположного 
элемента). 5. ∀ x ∈ V : 1 · x = x (аксиома нетривиальности). 6. ∀x,y∈V,∀λ:λ(x+y)=λx+λy(здесьидалееразныеформыдистрибутивно- 
сти). 7. ∀x∈V,∀λ1,λ2:(λ1+λ2)x=λ1x+λ2x. 8. ∀x∈V,∀λ1,λ2:λ1(λ2x)=(λ1λ2)x. Элементы пространства V называются векторами. Пример векторного пространства отличный от Rn или матриц Множество C[a; b] функций f : [a; b] → R, непрерывных на отрезке [a; b], с операцией сложения (f + g)(x) = f(x) + g(x) и умножения на число (k · f)(x) = k · f(x). Подпространство векторного пространства Пусть V — векторное пространство над R. Подмножество W ⊆ V называется под- пространством в V , если (W, +, ·) само является векторным пространством. Опера- ции (+) и (·) те же, что у векторного пространства (V, +, ·). Линейная комбинация векторов Пусть V — векторное пространство над R, векторы a1, . . . ,ak ∈ V , скаляры λ1, . . . ,λk ∈ R. Выражение λ1a1+. . .+λkak называется линейной комбинацией векторов a1, . . . ,ak. Если все λ1 = λ2 = . . . = λk = 0, то такая линейная комбинация называется тривиальной. Линейно независимый набор векторов Пусть V — векторное пространство. Множество векторов {a1, . . . ,ak} ⊂ V называ- ется линейно независимым, если линейная комбинация λ1a1 + . . . λkak = 0 толь- ко для λ1 = . . . = λk = 0. Если существует нетривиальная линейная комбинация λ1a1 + . . . λkak = 0, то векторы {a1, . . . ,ak} линейно зависимы. Коллинеарные векторы Векторы в R2 или R3 называются коллинеарными, если существует такая прямая, которой они параллельны. Компланарные векторы Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они па- раллельны. Линейная оболочка системы векторов Пусть V — векторное пространство над R. Векторы a1, . . . , ak ∈ V . Множество span{a1, . . . , ak {λ1a1+...+λkak},λi ∈R,∀i∈{1,2,...,k}называется линейнойоболочкой,на-
тянутой на векторы a1, . . . , ak. Таким образом, линейная оболочка состоит из всевоз-
можных линейных комбинаций a1, . . . , ak. Порождающая система векторов Если для векторного пространства S верно, что S = span{a1, . . . , ak}, то говорят, что векторы a1, . . . , ak порождают S. Любой вектор в S выражается в виде некоторой линейной комбинации векторов a1, . . . , ak. Базис Система векторов (e) = {e1, . . . , en} называется базисом векторного пространства V , если выполнены следующие условия: • e1, . . . , en — линейно независимы; • e1,...,enпорождаютV. Размерность векторного пространства Количество векторов в любом базисе векторного пространства V называется раз- мерностью этого пространства. Обозначение: dim(V ). Координаты вектора в базисе Набор чисел (c1,c2, . . . , cn) в разложении вектора a = c1e1 + . . . + cnen называется координатами a в базисе (e). Матрица перехода между базисами Матрица C называется матрицей перехода из базиса (e) в базис (e′). Её столбцами являются координаты новых базисных векторов в старом базисе. Критерий подпространства Пусть V — векторное пространство, W ⊆ V . Непустое множество W является под- пространством V тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: 1. Если векторыu,v∈W,тоu+v∈W.
2. Еслиλ—скаляр, векторu∈W,тоλu∈W. Достаточное условие линейной зависимости в n-мерном пространстве (пункт 1-2) Пусть V — векторное пространство, dim(V ) = n, (e) — базис в V . 1. Произвольное множество векторов (g) = {g1, . . . , gm}, где m > n, всегда будет линейно зависимым. 2. Произвольное множество векторов (g) = {g1, . . . , gm}, где m < n, никогда не будет порождать V . 3. Пусть (g) = {g1, . . . , gm} — множество векторов, где m = n. Тогда следующие утверждения эквивалентны: * (g) является базисом V ; * (g) порождает V ; * (g) линейно независимая система. Три эквивалентных условия для базиса в n-мерном пространстве (пункт 3) Пусть V — векторное пространство, dim(V ) = n, (e) — базис в V . 1. Произвольное множество векторов (g) = {g1, . . . , gm}, где m > n, всегда будет линейно зависимым. 2. Произвольное множество векторов (g) = {g1, . . . , gm}, где m < n, никогда не будет порождать V . 3. Пусть (g) = {g1, . . . , gm} — множество векторов, где m = n. Тогда следующие утверждения эквивалентны: * (g) является базисом V ; * (g) порождает V ; * (g) линейно независимая система. Критерий подпространства Пусть V — векторное пространство, W ⊆ V . Непустое множество W является под- пространством V тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: 1. Есливекторыu,v∈W,тоu+v∈W.
2. Еслиλ—скаляр,векторu∈W,тоλu∈W. Совпадение размеров базисов Если {e1, . . . , en} и {g1, . . . , gm}∗ — 2 базиса одного и того же векторного простран- ства V , то n = m. Алгоритм выделения базиса из системы векторов Дано: Пусть v1, . . . ,vm ∈ Rn — вектора и V = span(v1, . . . ,vm) — их линейная оболочка. Задача: Среди векторов v1, . . . ,vm найди базис пространства V и разложи оставшиеся векторы по это- му базису. 4 Алгоритм: 1. Запишем векторы v1, . . . ,vm по столбцам в матрицу A ∈ Mn m(R). Например, при n = 3, m = 5  
v11 v21 v31 v41 v51  A = v12 v22 v32 v42 v52 . 
v13 v23 v33 v43 v53 2. Приведём матрицу A элементарными преобразованиями строк к улучшенному ступенчатому виду. Например,  1 0 a31 0 a51 ′ A=0 1 a32 0 a52. 00 0 1a53 3. Пусть k1, . . . ,kr — номера главных позиций в матрице A′. Тогда векторы vk1 , . . . ,vkr образуют базис V . Так, в примере выше это векторы v1, v2 и v4. 4. Пусть vi — вектор соответствует неглавной позиции в A′. Тогда в i-ом столбце A′ записаны координаты разложения vi через найденный базис выше. Так, в примере выше v3 = a31v1 + a32v2 и v5 = a51v1 + 
a52v2 + a53v4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Через замену координат Теперь взглянем на ситуацию по-другому. Пусть есть вектор v ∈ Rm. Если vT =(v1,...,vm),тонаviможносмотретькакнакоординатыvвстандартномбазисеe1,...,em.Если есть невырожденная матрица C ∈ Mm(R), то можем сделать замену базиса по правилу (e1, . . . ,em)C−1 = (f1, . . . ,fm). Тогда координаты вектора v изменятся по правилу v 7→ Cv. Значит, в базисе f1, . . . , fm вектор Cv будет вектором координат. Тогда v и Cv — это координаты одного и того же вектора, только в разных базисах. Теперь посмотрим на систему векторов v1, . . . , vn ∈ Rm. Если с матрицей A = (v1| . . . |vn) сделать эле- ментарные преобразования строк, это будет равносильно умножению слева на невырожденную матрицу C. Таким образом матрица A заменится на A′ = (Cv1| . . . ,|Cvn) (по блочным формулам). Но тогда на столбцы матрицы A′ можно смотреть как на те же векторы, что и в столбцах матрицы A, только записан- ные в другом базисе. А раз это те же векторы, но в более удобных координатах, то решать задачу для столбцов A — это то же самое, что решать задачу для столбцов A′. Обрати внимание, что понятие линей- ной зависимости или независимости никак не связано с выбором координат для векторов. Алгоритм дополнения линейно независимой системы до базиса Дано: Пусть v1, . . . ,vm ∈ Rn — линейно независимая система векторов, V = span(v1, . . . ,vm) — их линейная оболочка и ei — стандартные базисные векторы (то есть на i-ом месте стоит 1, а в остальных — 0). Задача: Найди такие векторы ek1,...,ekn−m, что система v1,...,vm,ek1,...,ekn−m является базисом Rn. Алгоритм: 1. Разместить векторы vi в строках матрицы A ∈ Mm n(R). 2. Привести матрицу A к ступенчатому виду. 3. Пусть k1, . . . ,kn−m — номера неглавных столбцов. Тогда e1, . . . ,ekn−m — искомое множество. Определители матрицы 2 на 2 и 3 на 3 Для матрицы A размера 2 × 2 детерминант определяется как A11 a12 A21 a22 = a11*a22-a12*a21 Для матрицы A размера 3 × 3 детерминант определяется как a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a31a22a13 − a11a23a32 − a12a21a33. i j-ый минор матрицы - Минором элемента aij матрицы A ∈ Mn n(R) называется определитель матрицы, получаемый из A путём вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Обозначение: Mij. i j-ое алгебраическое дополнение матрицы Алгебраическим дополнением (кофактором) элемента aij квадратной матрицы A ∈ Mnn(R) называется выражение Aij = (−1)i+jMij. Невырожденная матрица Матрица A называется вырожденной, если det A = 0. Если det A ̸= 0, то квадратная матрица A невырождена. Присоединённая матрица Пусть A ∈ Mn n(R). Матрица составленная из алгебраических дополнений Aij к элементам aij матрицы A, назы- вается присоединённой к матрице A. Формула разложения определителя по строке Зафиксируем произвольную — i-ю — строку матрицы A ∈ Mnn(R). Определитель матрицы A ∈ Mn n(R) равен сумме всех произведений элементов i-й строки на свои алгебраические дополнения. a11 ... a1n detA= . ... . = an1 ... ann Формула (1) называется формулой разложения определителя по i-ой строке. Она справедлива для лю- бого i ∈ { 1, . . . , n }. Аналогичную формулу можно записать для разложения по i-му столбцу Изменение определителя при элементарных преобразованиях Если матрица B получается из матрицы A путём перестановки двух строк, то det(B) = − det(A). Отсюда следует, что если матрица содержит две одинаковые строки, то её определитель равен 0. Если матрица B получается из A путём умножения элементов некоторой строки на одно и то же число λ, то det(B) = λ det(A). Отсюда следует, что если матрица содержит нулевую строку, то её определитель равен 0. Если матрица B получается из матрицы A путём прибавления к элементам некото- рой строки матрицы A соответствующих элементов другой строки этой же матрицы, умноженных на один и тот же скаляр, то определитель не поменяется det(B) = det(A). Таким образом, если строки матрицы линейно зависимы, то её определитель равен 0.
Элементарные преобразования столбцов матрицы меняют определитель таким же образом, как и элемен- тарные преобразования строк. Справедливость этого утверждения основывается на следующей теореме. Определитель транспонированной матрицы Пусть матрица A ∈ Mnn. Тогда det A = det(AT ) Рассмотрим связь определителя с другими операциями над матрицами — сложением и умножением. Определитель произведения матриц Если A, B ∈ Mn n(R), то det(AB) = det(A) · det(B) Доказательство этой теоремы основывается на вспомогательном утверждении. Поэтому сначала приве- дём и обоснуем необходимую лемму, а потом докажем саму теорему. Критерий обратимости в терминах определителя Критерий обратимости Матрица A ∈ Mn n(R) обратима тогда и только тогда, когда det A != 0. Определитель верхнетреугольной и нижнетреугольной матриц Пусть матрица A ∈ Mn n(R) — верхнетреугольная или нижнетреугольная. Тогда её детерминант равен произведению диагональных элементов. Доказательство этого утверждения следует из свойства разложения определителя по столбцу (2). Так, например, имеем, что определитель единичной матрицы det(In) = 1. Воспользовавшись методом Гаусса и свойствами определителя из утверждений 1, 2, 3 и 4, можно легко вычислить определитель произвольной матрицы. Кроме того, отсюда следует, что если матрица A вырож- дена, то в ступенчатом виде у нее точно будет, как минимум, одна нулевая строка. А значит, справедливо следующее утверждение Связь линейной зависимости и определителя Пусть A ∈ Mn n(R). Определитель det(A) = 0 в том и только в том случае, когда строки этой матрицы линейно зависимы. Для сложения матриц в общем случае det(A + B) != det(A) + det(B). Однако есть полезное свойство, связанное с операцией сложения, которое упрощает подсчёт определителя. Линейность определителя по строке Если каждый элемент i-й строки (i-го столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в i-й строке (i-м столбце) имеет первые из упомяну- тых слагаемых, а другой — вторые. Элементы, стоящие на остальных местах, у всех трёх определителей одни и те же. Метод Крамера Пусть задана система Ax = b, которая состоит из n линейных уравнений с n неизвестными xi = ∆i/∆, I∈{1,...,n}. Определитель произведения матриц (доказательство) Возьмём матрицу E, соответствующую умножению строки матрицы B на число k. Напомним, что E получается из единичной матрицы I путём домножения одной из её строк на k. Из свойства определителей 2 следует, что определитель результата перемножения матриц равен det(EB) = k det(B) С другой стороны, определитель диагональной матрицы E: det(E) = 1 · . . . · 1 · k = k. Таким образом, det(EB) = det(E) det(B).
Для других типов матриц элементарных преобразований доказывается аналогично. Следующее утверждение показывает, как определитель матрицы связан с ее обратимостью. Критерий обратимости в терминах определителя (доказательство) Пусть R — ступенчатый вид матрицы A. Покажем, что для матриц R и A верно, что либо одновременно detR = detA = 0, либо detR ̸= 0 и detA ̸= 0. Рассмотрим E1, . . . , Ek — матрицы элементарных преобразований, с помощью кото- рых A сводится к R, то есть R = E1 · E2 · . . . · Ek · A. Из Леммы 1 имеем det(R) = det(E1) · . . . · det(Ek) · det(A). Определители матриц элементарных преобразований не равны 0 (проверяется для матриц элементарных преобразований каждого типа отдельно). Поэтому det(A) и det(R) либо одновременно нулевые, либо одновременно ненулевые. В случае, если A обратима, то с помощью элементарных преобразований её можно свести к R = I, где I — единичная матрица. Но det(I) = 1(̸= 0), и значит, det A ̸= 0. Наоборот, если det(A) ̸= 0, тогда det(R) ̸= 0, что означает, что в R точно нет нулевых строк. Тогда R элементарными преобразованиями можно свести к I. I = E1 · E2 · . . . · Es · A. Получаем,чтоAобратима:A−1 =E1·E2·...·Es. Определитель обратной матрицы (доказательство) Так как A обратима, существует обратная матрица A−1 такая, что AA−1 = I. Взяв определители от обеих частей этого равенства, получим |A| · A−1 = |I|, то есть |A|· A−1 =1.Значит,|A−1|= 1 . |A| Прежде чем рассмотреть, как использовать детерминант для поиска обратной матрицы, введём ещё одно определение. Строчный ранг матрицы Пусть матрица A ∈ Mm n(R). Строчным рангом матрицы A называется максималь- ное число линейно независимых строк этой матрицы. Обозначения: rk(A), rg(A), rank(A), rang(A), rA. Базисный минор Пусть матрица A ∈ Mm n(R) и rk(A) = r > 0. Любой ненулевой минор r-го порядка этой матрицы называется базисным минором, а строки и столбцы, которые форми- руют базисный минор, — базисными строками и столбцами. Фундаментальная система решений Пусть дана однородная система Ax = 0, A ∈ Mm n(R). Обозначим пространство решенийэтойсистемыкакU ={x∈Rn |Ax=0}. Набор векторов f1, . . . , fk называется фундаментальной системой решений (ФСР), если это базис U. Тривиальная оценка на ранг матрицы Ранг матрицы не превосходит её размеров: если A ∈ Mm n(R), то rk(A) ⩽ min(m, n) Следующие утверждения показывают, как ранг связан с матричными операциями. Теорема о базисном миноре Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая другая строка (столбец) мат- рицы, не входящая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных строк (столбцов). Для поиска ранга матрицы произвольного размера с помощью миноров можно использовать метод окайм- ляющих миноров. Наличие ненулевого решения системы в терминах ранга Пусть A ∈ Mm n(R). Однородная система линейных уравнений Ax = 0 имеет толь- ко тривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен количеству переменных: rk(A) = n. В этом случае говорят, что у матрицы полный столбцовый ранг, то есть её столбцы линейно независимы. Чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, что- бы ранг её матрицы был меньше числа неизвестных: rk(A) < n. Таким образом, часто определитель и ранг матрицы могут помочь быстро проанализировать систему на количество и характер её решений без самого поиска корней. Размерность пространства решений однородной системы Пусть A ∈ Mm n(R). Множество решений однородной системы Ax = 0 образует век- торное пространство. Обозначим это пространство V , тогда dim(V ) = n − rk(A). Связь решений однородной и неоднородной системы Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая другая строка (столбец) мат- рицы, не входящая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных строк (столбцов). Для поиска ранга матрицы произвольного размера с помощью миноров можно использовать метод окайм- ляющих миноров. Теорема Кронекера-Капелли Пусть A ∈ Mm n(R). Система линейных уравнений Ax = b совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, то есть rk(A) = rk(A|b). Размерность ФСР (доказательство) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть A ∈ Mm n(R). Множество решений однородной системы Ax = 0 образует век- торное пространство. Обозначим это пространство V , тогда dim(V ) = n − rk(A). 
λx2
 .  — тоже решение этой системы. Аналогично λx =
Таким образом, множество решений однородной системы является векторным про- . λxn странством. Элементарные преобразования матрицы не меняют ни её ранг, ни множество реше- ний соответствующей системы. С помощью метода Гаусса матрица системы сводит- ся к ступенчатому виду:  a11 a12 ... a1m ... a1n ∗ ∗ ... ∗ ∗ ... ∗   a21 a22 ... a2m ... a2n   0 ∗ ... ∗ ∗ ... ∗   a a ... a ... a  . . .. . . . 3132 3m 3n→..... ..   . . .. . .    .... .00...∗∗...∗ am1 am2 ...amm ...amn 00...00...0 Переменные соответствуют столбцам матрицы. Их можно разбить на два класса: 1. Главные (базисные) переменные — те, которые соответствуют ведущим (глав- ным) элементам матрицы в ступенчатом виде. 2. Свободные переменные — те, через которые выражаются переменные из пер- вого класса. Количество главных переменных + Количество свободных = n. переменных Количество переменных в первом классе совпадает с числом ненулевых строк и рав- но рангу матрицы. А число свободных переменных или параметров, через которые выражается решение, является размерностью пространства решений. Наличие ненулевого решения системы в терминах ранга (доказательство) Сумма решений неоднородной и приведённой однородной систем является ре- шением неоднородной системы.   x1 y1 Действительно, если x =  .  — решение Ax = b, а y =  .  — решение . . xn yn Ax = 0, то
= (ai1x1 + . . . + ainxn) + (ai1y1 + . . . + ainyn) = bi + 0 = bi. ai1(x1 + y1) + . . . + ain(xn + yn) = 2. Разность двух решений неоднородной системы является решением приведённой однородной системы. Действительно, если x =  . , z =  .  — решения . . Ax = b, то xn zn ai1(x1−z1)+...+ain(xn−zn)=bi−bi =0. Следующее утверждение описывает структуру общего решения неоднородной системы. Теорема Кронекера-Капелли Необходимость. Пусть система 
a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn = b1, 
 . . ... . .  a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn = b2, 2) am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
совместна. Это означает, что столбец свобдных членов b может быть представлен в виде линейной комбинации: b = x1a1 + . . . + xnan, 3) где ai (i ∈ { 1, . . . ,n }) — столбцы матрицы A. Но по определению ранг матрицы не из- менится, если к ней приписать столбец (строку), которая является линейной комби- нацией других столбцов (строк). Значит, rk(A) = rk(A|b). Достаточность. Пусть rk(A) = rk(A|b) = r. Возьмём в матрице A какой-нибудь ба- зисный минор, который также будет базисным минором для (A|b), поскольку rk(A|b) = r. По теореме 2 последний столбец расширенной матрицы (A|b) (столбец свободных членов системы) является линейной комбинацией базисных столбцов — столбцов матрицы A. Это значит, что система Ax = b совместна. Пересечение подпространств Пересечением подпространств L1 и L2 называется множество векторов, каждый из которых одновременно принадлежит и L1, и L2, то есть L1 ∩ L2 = {x ∈ V | x ∈ L1, x ∈ L2} . Заметим, что пересечение подпространств непусто, так как оно всегда содержит нулевой вектор 0 про- странства. К тому же, оно само является подпространством. Пример, когда объединение подпространств — не подпространство Объединение L1 ∪ L2 подпространств L1 и L2 в общем случае не является подпро- странством в линейном пространстве V . Сумма подпространств Суммой подпространств L1 и L2 называется множество L1+L2 ={x|x=x1+x2, x1 ∈L1,x2 ∈L2} Таким образом, чтобы определить сумму подпространств, нужно взять вектор из каждого подпростран- ства и рассмотреть все их возможные суммы. ЗАМЕЧАНИЕ Сумма подпространств является наименьшим подпространством, содержащим L1 и L2. Его можно рас- сматривать как наименьшее общее кратное НОК векторных подпространств. Прямая сумма двух подпространство Сумма подпространств линейного пространства называется прямой суммой, если разложение каждого вектора в ней по слагаемым подпространствам единственно. Обозначение: L1 ⊕ L2. Теорема о неполном базисе Пусть V — векторное пространство, dim V = n. Тогда любую линейную независимую систему из k векторов в V , k < n, можно дополнить до базиса V . Связь размерности суммы и пересечения подпространств (Формула Грассмана) Пусть V — векторное пространство над R и L1, L2 ⊆ V — некоторые подпростран- ства, тогда dim(L1 + L2) = dim L1 + dim L2 − dim(L1 ∩ L2). Алгоритм поиска ФСР